343_整数拆分（剪绳子）

难度：中等

题目

给你一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成整数长度的 m 段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为 k[0],k[1]…k[m-1] 。请问 k[0]k[1]…*k[m-1] 可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

示例

示例一：

输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1

示例二：

输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36

提示

• 2 <= n <= 58

解题

要求剪下绳子长度乘积的最大值，可以用动态规划的方法。

用一个 dp 数组记录绳子长度为 n 的时候乘积的最大值，初始情况：当绳子长度为 2 时，最大乘积为 1 （最少要减一次）int[] dp = new int[n+1]; dp[2] = 1;

剪下一段后，可以选择继续剪或者不剪。不剪的话长度乘积为 剪下长度 j * 剩余长度 i-j ；剪的话长度乘积为 剪下长度 j * dp[剩余长度] dp[i-j]

Math.max(j*(i-j), j*dp[i-j])

public int cuttingRope(int n){
  int[] dp = new int[n+1];
  dp[2]=1;
  for (int i = 3; i <=n; i++) {
    // 剪 1 没有意义，故从 2 开始循环
    for (int j = 2; j < i; j++) {
      dp[i] = Math.max(dp[i], Math.max(j*(i-j), j*dp[i-j]));
    }
  }
  return dp[n];
}